Grundlage der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung sind die Axiome von Kolmogoroff. Kolmogoroff geht von einem Versuch aus, der im Prinzip unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden kann, wie z. B. Münzwurf, Würfeln, Lotto.
Unter welchen Voraussetzungen kann ein klinischer Versuch als im Prinzip unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar angesehen werden?
Trotz der gleichen Bedingungen ist das Ergebnis des Versuchs von Wiederholung zu Wiederholung nicht vorhersehbar. Es gibt vielmehr eine ganze Menge möglicher Ergebnisse, die hier im folgenden mit S bezeichnet wird. Die einzelnen Ergebnisse werden mit
e , e
1 2
bezeichnet, d.h.
S = ( e , e ... )
1 2
Wie könnte man die Menge der möglichen Ergebnisse für den klinischen Versuch aus Aufgabe 1.1 charakterisieren, wenn man nur daran interessiert ist, den Therapieerfolg (CR) in Abhängigkeit von der eingesetzten Therapie (T/T oder T/H) zu untersuchen?
S =
Teilmengen von S bezeichnet man als Ereignisse.
Welche Teilmenge von S entspricht
- a. beim Würfeln dem Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln?
- b. beim Lotto dem Ereignis, daß die 1 gezogen
wurde?
Vor diesem Hintergrund führte Kolmogoroff den Begriff der
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ein und formulierte die folgenden
drei Axiome, die die Grundlage für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
bilden:
Axiome von Kolmogoroff
Sei
S = Menge der möglichen Ergebnisse eines Versuchs,
A, B = Ereignisse, d. h. Teilmengen von S,
P ( A ) = Wahrscheinlichkeit von A.
Unter diesen Voraussetzungen gelten die Axiome:
- P (A) > 0
- P (S) = 1
- P (A B) = P (A) +
P (B), falls A B = 0
(a) Für welche statistischen Maßzahlen gelten die
gleichen Rechenregeln wie für die Wahrscheinlichkeiten?
(b) Erläutern Sie den Unterschied zwischen relativen Häufigkeiten
und Wahrscheinlichkeiten.
4.2. Wahrscheinlichkeiten
Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten läßt sich gut
anhand von sogenannten Venn-Diagrammen veranschaulichen. Abbildung
4.1 zeigt das Venn-Diagramm einer Menge S, die aus 10 gleichwahrscheinlichen
Elementen besteht, sowie zwei Ereignisse A und B.
Abb. 4.1: Venn-Diagramm
Berechnen Sie unter dieser Voraussetzung:
P (A) =
P (B) =
P (A B) =
P (A B) =
P (A B) =
(a) Sind A und B unabhängig? Ergänzen Sie gegebenenfalls
die Zeichnung so, daß A und B unabhängig werden.
4.3. Unabhängigkeit von Ereignissen
Der Begriff der Unabhängigkeit von Ereignissen spielt in
den Anwendungen eine wichtige Rolle.
Welche der folgenden Ereignisse halten Sie für unabhängig?
Begründen Sie Ihre Meinung!
1. Geschlecht von Kind 1 und Geschlecht von Kind 2 bei zwei
Kindern des gleichen Elternpaares.
2. Dauer der Geburt, Art der Narkose.
3. Dauer der Geburt, Alter der Mutter.
4. Dauer der Geburt, Parität der Mutter.
5. Dauer der Geburt, Alter des Vaters.
6. Augenfarbe und Haarfarbe einer Person.
7. Diabetes und Geschlecht.
8. Lebenserwartung und Geschlecht.
9. Studienfach und Geschlecht.
4.4. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Tabelle 4.1: Sensitivität und Spezifität beim klinischen
Test
Testergebnis T Wirklichkeit
W
infiziert nicht
infiziert
positiv 900 9 900 10 800
negativ 100 89 100 89 200
1 000 99 000 100 000
In einer fiktiven Grundgesamtheit von 100 000 Personen sind 1
000 Personen mit einem bestimmten Virus infiziert. Es gibt einen
klinischen Test, mit dem man dies feststellen kann. Dieser Test
ist allerdings nicht hundertprozentig sicher. Es werden nur 90
% der tatsächlich infizierten Personen im Test als positiv
erkannt (Sensitivität), und genauso sind nur 90 % der nicht
infizierten Personen im Test negativ (Spezifität).
Die Verhältnisse sind in Tabelle 4.1 tabellarisch dargestellt.
Sensitivität und Spezifität sind in der Sprache der
Wahrscheinlichkeitsrechnung nichts anderes als bedingte Wahrscheinlichkeiten:
Sensitivität:
P ` ( ` T~=~+ ` LINE ~W~=~+ ` )~=~ {900 OVER 1000}~=~0.9
Spezifität:
P ` ( ` T~=~- ` LINE ` W~=~- ` )~=~{89100 OVER 99000}~=~0.9
In der Praxis möchte man umgekehrt auch wissen, wie groß
bei gegebener Sensitivität und Spezifität die Wahrscheinlichkeit
ist, daß ein im Test positiver Patient tatsächlich
infiziert ist, bzw. ein im Test negativer Patient tatsächlich
nicht infiziert ist. Diese bedingten Wahrscheinlichkeiten nennt
man "positiven" bzw. "negativen" prädiktiven
Wert.
Berechnen Sie für den klinischen Test aus Tabelle 4.1
a) den positiven prädiktiven Wert
P ` ( ` W~=~+ ` LINE ` T~=~+ ` )~=
b) den negativen prädiktiven Wert
P ` ( ` W~=~- ` LINE ` T~=~- ` )~=~
Verifizieren Sie das Ergebnis mit Hilfe der Bayesschen Formel!
Wovon hängen positiver und negativer prädiktiver
Wert außer von Sensitivität und Spezifität noch
ab?
In der Praxis sind die Verhältnisse in der Grundgesamtheit,
die hier in Tabelle 4.1 angegeben sind, natürlich nicht bekannt.
Man muß versuchen, die fehlenden Angaben aus vorliegenden
Daten zu schätzen.
Sensitivität und Spezifität
Von 11 824 Untersuchungen auf HIVAntikörper des Städtischen
Gesundheitsamts München waren 529 HIV positiv. Bei 359
wurde der Verdacht auf Infektion bestätigt.
Ergänzen Sie die nachfolgende Tabelle 4.2.
Tabelle 4.2:
Testergebnis Wirklichkeit
T W
positiv negativ Gesamt
positiv
negativ
Gesamt
Schätzen Sie den positiven prädiktiven Wert dieses
HIVTests.
Der Hersteller gibt die Sensitivität des Tests mit 99.9
% an. Wie schätzen Sie hiernach die Spezifität des Tests?
4.5. Gesetz der großen Zahl
Unbekannte Wahrscheinlichkeiten schätzt man durch die relativen
Häufigkeiten aus einer zufälligen Stichprobe. Theoretische
Grundlage hierfür ist das Gesetz der großen Zahl.
A sei ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit P(A).
n_A
sei die absolute Häufigkeit mit der A in n unabhängigen
Versuchswiederholungen eintritt.
Das Gesetz der großen Zahl besagt:
{n_A OVER n}~ ~P ` ( ` A ` )~~~~~( ` n~ ~ INF ` )
d. h. , die relative Häufigkeit, mit der ein Ereignis A in
n unabhängigen Versuchswiederholungen eintritt, strebt
mit wachsendem n gegen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
A.
Beispiel: Die relative Häufigkeit, mit der man bei
Neugeborenen ein Geburtsgewicht unter 3000 g beobachtet, strebt
mit wachsender Anzahl n der ausgewerteten Geburten gegen die Wahrscheinlichkeit
dieses Ereignisses.
Bei einem idealen Würfel wird jede der 6 möglichen Zahlen
mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewürfelt.
(a) Wie gehen Sie vor, wenn Sie überprüfen wollen,
ob ein bestimmter gegebener Würfel ein idealer Würfel
ist?
(b) Wie gehen Sie vor, wenn Sie wissen wollen, wie groß
der Anteil der Bevölkerung mit Blutgruppe 0 ist?