2. Deskriptive Statistik I

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, die in den Daten der Stichprobe enthaltene Information übersichtlich und unverfälscht in Tabellen, Grafiken und statistischen Maßzahlen zusammenzufassen. Wie das zu geschehen hat, hängt entscheidend vom Typ des betrachteten Merkmals ab.

2.1. Qualitative Merkmale

Bei einer Stichprobe von Patienten, die unter Krampfadern im Unterschenkelbereich litten, wurde eine Salbe zur Linderung der Beschwerden angewandt. Eine halbe Stunde nach Auftragen der Salbe wurden die Patienten befragt, ob eine Besserung eingetreten sei. Es ergab sich folgende Urliste:

Tabelle 2.1: Besserung nach Salbenbehandlung

Patient	Besserung	Patient	Besserung	Patient	Besserung
1	gering	9	keine Angabe	17	gering
2	deutlich	10	gering	18	deutlich
3	gering	11	keine	19	deutlich
4	deutlich	12	keine Angabe	20	gering
5	gering	13	gering	21	keine Angabe
6	keine	14	gering	22	gering
7	deutlich	15	keine	23	gering
8	deutlich	16	keine Angabe	24	deutlich

Erstellen Sie eine Tabelle der absoluten und der relativen Häufigkeiten! Wie behandeln Sie die Ausprägung "keine Angabe"?

Tabelle 2.2:

Besserung	absolute Häufigkeit	relative Häufigkeit	adjustierte relative Häufigkeit






Gesamt

Formulieren Sie eine Tabellenüberschrift!

Erstellen Sie ein Blockdiagramm der absoluten Häufigkeiten! (Abb. 2.1)

Abb. 2.1:

.

2.2. Quantitativ diskretes Merkmal

Bei den Patienten vom Zelltyp FAB-M3 (Aufgabe 1.1) ergaben sich für das Merkmal "Anzahl der Geschwister" die Häufigkeiten in Tabelle 2.3.

Berechnen Sie die absoluten und die relativen Summenhäufigkeiten!

Bestimmen Sie den empirischen Median

des Merkmals "Anzahl der Geschwister"

~
X =

Tabelle 2.3: Häufigkeitsverteilung des Merkmals "Anzahl der Geschwister"

Anzahl der Geschwister	absolute Häufigkeit	relative Häufigkeit (%)
0	7	28.0
1	7	28.0
2	7	28.0
3	2	8.0
5	1	8.0
9	1	4.0
Summe	25	100.0

2.3. Quantitativ stetiges Merkmal

In Tabelle 2.4 finden Sie für 16 weibliche Patienten einer Klinischen Studie die Angaben zur Körpergröße in cm. Die Daten liegen in Form einer Rangliste vor, d. h. sie sind bereits aufsteigend sortiert.

Tabelle 2.4: Körpergröße von 16 Patientinnen

Lfd. Nr. Größe x x - x ( x - x ) emp. Verteilungsfunktion
p16 ( x )

1 155 10.1875 103.785 1/16 = 0.0625

2 158 7.1875 51.660 .

3 158 7.1875 51.660 3/16 = 0.1875

4 159 -6.1875 38.285 4/16 = 0.2500

5 162 3.1875 10.160 5/16 = 0.3125

6 165 -0.1875 0.035 .

7 165 -0.1875 0.035 .

8 165 -0.1875 0.035 .

9 165 -0.1875 . 9/16 = 0.5625

10 166 0.8125 . .

11 166 0.8125 . 11/16 = 0.6875

12 167 1.8125 . .

13 170 4.8125 . .

14 170 4.8125 . .

15 176 10.8125 . .

16 176 10.8125 . .

Summe 2643 0.0000 540.437 .

Lfd. Nr.	Größe x	x - x	( x - x )	emp. Verteilungsfunktion p16 ( x )
1	155	10.1875	103.785	1/16 = 0.0625
2	158	7.1875	51.660	.
3	158	7.1875	51.660	3/16 = 0.1875
4	159	-6.1875	38.285	4/16 = 0.2500
5	162	3.1875	10.160	5/16 = 0.3125
6	165	-0.1875	0.035	.
7	165	-0.1875	0.035	.
8	165	-0.1875	0.035	.
9	165	-0.1875	.	9/16 = 0.5625
10	166	0.8125	.	.
11	166	0.8125	.	11/16 = 0.6875
12	167	1.8125	.	.
13	170	4.8125	.	.
14	170	4.8125	.	.
15	176	10.8125	.	.
16	176	10.8125	.	.
Summe	2643	0.0000	540.437	.

Ergänzen Sie Tabelle 2.4 und berechnen Sie die folgenden Maßzahlen

Lagemaße

emp. Minimum x_{min}~=

emp. 0.25-Quantil x_{0.25}~=
(1. Quartil)

emp. Median* x TILDE ~ =
(2. Quartil)

emp. 0.75-Quantil x_{0.75} ~ =
(3. Quartil)

emp. Maximum

x_{max}~ =

Mittelwert

OVERLINE x ~ =

Streuungsmaße

emp. Spannweite (Range)

R~=~x_{max}~-~x_{min}~=

emp. Interquartilabstand

q~=~x_{0.75}~-~x_{0.25}~=

emp. Varianz

s^2~=~{1 OVER {n~-~1}} ` SUM FROM { ` i ` = ` 1} TO n ~ ( ` x_i~-~ OVERLINE x ` )^2~=

emp. Standardabweichung

s~=~ SQRT{s^2} ~ =

*Für den empirischen Median wird alternativ auch die Formel

x Tilde ~ = ~ LEFT \{~MATRIX {x_{LEFT ({n + 1} OVER 2 RIGHT)} & ~~~n~ ungerade # {1 OVER 2} ~ CDOT ~ LEFT(x_{LEFT(n OVER 2 +1 RIGHT)}~ + ~x_{LEFT( {n OVER 2} RIGHT)} RIGHT) & n ~gerade } RIGHT .

verwandt. Berechnen Sie den empirischen Median auch nach dieser Formel.

2.4. Boxplot

Tabelle 2.5 enthält die Statistiken für alle 140 Patienten (59 männliche, 81 weibliche).

Tabelle 2.5: Basisstatistik: Körpergröße

Größe                     Geschlecht                             

                           Männlich              Weiblich        

N                                    57.00                 76.00 

fehlend                               2.00                  5.00 

160.00                148.00 
x_ min                                                           

171.00                160.00 
x_{0.25}                                                         

176.00                165.00 
x Tilde                                                          

180.00                170.00 
x_{0.75}                                                         

190.00                180.00 
x_max                                                            

176.12                164.87 
OVERLINE x                                                       

Spannweite R                         30.00                 32.00 

Interquartilabstand                   9.00                 10.00 
q                                                                

Varianz s2                           49.72                 44.76 

Standardabw. S                        7.05                  6.69

Erstellen Sie aus den Angaben in Tabelle 2.5 in Abb. 2.2 einen nach Geschlecht getrennten Boxplot für die Körpergröße. Abb. 2.2:

2.5. Quantile

Die Quantile werden in der Medizin häufig angewandt. Abb. 2.3 zeigt ein Diagramm, in das bei den Säuglingsvorsorgeuntersuchungen die Körpergröße in Abhängigkeit vom Alter eingetragen wird.

(a) Interpretieren Sie dieses Diagramm. Welche Quantile werden dargestellt?

Abb. 2.3: Somatogramm